1 変数変換の証明 1.1 イントロダクション Rd にはd次元ルベーグ測度が既に与えられているものとする。これを作 る話はまた別の機会に譲ることにする。積分についての話もまた今度にする。 　可測関数としては、±∞の値を取らないものを考える。 さて、積分の変数変換の証明はいろいろあるが、ここではいくつかの補題 に基づき面積定理から証明する方法を取る。これはルベーグ積分特有の、可 測集合、単関数、非負可測関数という流れに沿っていてとても見やすい。証 明した後は、極座標変換を用いて単位球の体積を計算してみたい。 　それでは証明に移る。まず、何を証明するのかを明確にする。 1.2 面積定理 　次の定理が目標である。 定理1.1. （面積定理） U ⊂Rdは開集合とし、φ:U →RdはC1級とし、A⊂Uはルベーグ可測 であるとする。さらにφは次の条件： ∀y ∈ Rd |φ−1({y})| < +∞ を満たすとする（y=φ(x)となるxはyに対して有限個）。このとき、 Φ(A)(y) := |A∩φ−1({y})| とおく。各Aに対してこういう関数があると。このとき、 ∫ ∫ J(φ)(x)dx = A φ(U) Φ(A)(y)dy. (J(φ)(x) = |Dφ(x)|) 特にφが単射ならばΦ(A)=χφ(A)となり、 ∫ J(φ)(x)dx = m(φ(A)). A J(φ)(x) は面積の変化率をあらわしている。 　これを示すのに必要な補題は適宜与えられる。証明はすべて後半に回す 1.3 予備的考察 まずΦ(A)の考察から。Φ(A)(y)とは、要するにy=φ(x)となるx∈Aの 個数なので、次のことはすぐ分かる。 1. A ⊂B =⇒ Φ(A)≤Φ(B). 2. A∩B =ϕ =⇒ Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B). 3. An ↑ A⊂U =⇒ Φ(An)↑Φ(A). たとえば３つ目に関しては、nが充分大きければy=φ(x), x∈Aという すべてのxは途中からずっと同じAnに入るということ。 　ということで、A⊂U（可測）について、 ∫ I1(A) = J(φ)(x)dx, A I2(A) = とおくとき、i=1,2として次が成り立つ。 1. A ⊂B⊂U =⇒ Ii(A)≤Ii(B). ∫ φ(U) 2. A∩B =ϕ =⇒ Ii(A+B)=Ii(A)+Ii(B). 3. An ↑ A⊂U =⇒ Ii(An)↑Ii(A). Φ(A)(y)dy だから、I1 =I2を示そうというとき、示すにはA+B=Cならば各A,B について示せばよいし、An↑Aならば各Anについて示せばよい。 　さて、 V ={x∈U |J(φ)(x) >0} とおく。この開集合は重要な役割を演ずる。まず、 A=A′+A′′, A′ ⊂V, A′′ ⊂U −V と分ける。先にA′′について示すことになる。その後、V に対し、 Kn ↑V, Knはコンパクト という列を取ったうえで（このことはいつか示す）、 An := A′ ∩Kn, An ↑A′ と分解する。これらのAnは、可測で、 An ⊂V, An はコンパクト という性質を持つから、これらすべてでI1=I2をいえばＯＫ．したがって、 • （第１段階）A⊂U−V としてI1(A)=I2(A). • （第２段階）A⊂V, AはコンパクトとしてI1(A)=I2(A). この２つに分けることになる。 1.4 第１段階：サードの定理 　まずこの第１段階から処理する。次の補題を使う。 補題1.2. （サードの定理） U ⊂Rdは開集合とし、φ:U →RdはC1級とし、 C(φ) = {x ∈U | J(φ)(x) = 0} とおく。このとき、m(φ(C(φ)))=0. これによると、A⊂U−V =C(φ)のとき、m(φ(A))=0. Φ(A)(y) > 0 ⇐⇒ y ∈φ(A) なので、このときΦ(A)(y)はほとんど至る所０で、 ∫ I2(A) = Φ(A)(y)dy = 0. φ(U) 他方、A上J(φ)(x)=0であるから、 ∫ I1(A) = J(φ)(x)dx = 0. A 1.5 第２段階の準備１：全単射性の追加 第２段階は手間がかかるのでいくつか補題などを用意する。結論から言う と、条件を増やす。すなわち、次のようにする： A⊂W, W上でφは単射かつJ(φ)(x)>0 という開集合W(⊂V)が取れるようなAに限るのである それには次の補題が活躍する： 補題1.3. （局所全単射定理） U,V ⊂Rdは開集合、φ:U →V はC1級とし、 J(φ)(x) > 0 (x ∈ U) とする。このとき、a∈U, φ(a)=b∈V とすれば、 a ∈U0 ⊂U, b∈V0 ⊂V という開集合U0,V0をうまくとってφ:U0 →V0が同相写像となるようにで きる。このとき逆写像もC1級である。 このU0は、これに含まれる別の開集合でも代用できる。（小さく取れる！） ということで、Aの各点xに対し、 x ∈U(x,ϵx) ⊂ V, U(x,ϵx)の上で局所全単射 というϵx >0を取って、コンパクト性で、 A⊂U(x1, ϵ1 2 )∪···∪U(xp, ϵp 2 ) (ϵi = ϵxi ) とする。さらにRdを半開区間分割する。 { d ∏ [ ∆n := i=1 ) ki 2n, ki +1 2n } | ki ∈ Z あれは直径。R∈∆nである。これにより、 ∆n ={R(n) . ∞ ∑ k }∞ k=1, A = k=1 diam(R) = √ d·2−n. (A∩R(n) と分割する。Aは有界なので実際は有限和である。 k ) nを充分大きくとれば、Aと交わるRの点xについて、xとRの点との距 離はどんなϵi/2よりも小さくなる。そこで１つ固定し、 x ∈U(xi, ϵi 2 ), ||x − xi|| < ϵi 2 とすれば、一般のy∈A∩Rについて、 ||y − x|| < ϵi 2 , ||y −xi|| < ϵi. ∴ A∩R ⊂ U(xi,ϵi). このようになる。 だから次のようにする。まずnが充分大きいとき、Aは有限個の A∩R, R∈∆n の直和であって、これらは次を満たすある開集合に入っている： A∩R⊂W, W上でφは単射かつJ(φ)(x)>0. これらのA∩Rに対して、 I1(A ∩R) = I2(A∩R) が言えれば、辺々足し合わせて I1(A) = I2(A) が言える。 1.6 第２段階の準備２：BMD補題 　というわけで、Aは次のような状況にある。開集合V があり、 A⊂V ⊂U, V 上でφは単射かつJ(φ)(x)>0. 示すことは、 I1(A) = ∫ A J(φ)(x)dx, I2(A) = ∫ φ(U) Φ(A)(y)dy の一致。 しかしA上でφは単射だから、y∈φ(A)に対してy=φ(x)というxは１つ だけ。つまりΦ(A)=χφ(A)になる。だから、 ∫ J(φ)(x)dx = m(φ(A)) A を示せばよい。 　これを示すための補題を用意する。それがBMD補題。 t−2dm(φ(B)) ≤ をいえばよい。 B 1.7 第２段階：２つの不等式 J(φ)(x)dx ≤ t2dm(φ(B)) 　これを示すには、次の二つの不等式を示せばよい。B⊂Bj. ∫ (1) : t−d|detMj|m(B) ≤ J(φ)(x)dx ≤ td|detMj|m(B). B (2) : t−d|detMj|m(B) ≤ m(φ(B)) ≤ td|detMj|m(B). 1.7.1 (1)の証明：行列式の不等式 　まず１つ目。t−1,tを中に入れて、 ∀x ∈ B, ∀v ∈Rd, ||(t−1Mj)v|| ≤ ||Dφ(x)v|| ≤ ||(tMj)v|| と書く。それ自身興味深い次の補題を示そう。 L,M はd次正則行列、∀v∈Rd ||Lv||≤||Mv|| =⇒ |detL|≤|detM|. これは、すべてのvという代わりにすべてのM−1vを考えるのである。 ||(LM−1)v|| ≤ ||v||. これは、単位閉球B(0,1)について、 (LM−1)(B(0,1)) ⊂ B(0,1) を示す。これより、 |det(LM−1)|m(B(0,1)) = m((LM−1)(B(0,1))) ≤ m(B(0,1)) だから、 |detL||detM|−1 ≤ 1. （固有値を使った別証明もある） ∴ |detL| ≤ |detM|. 　これより、次の式が成り立ち、後はB上で辺々積分すればよい。 |det(t−1Mj)| ≤ |det(Dφ(x))| ≤ |det(tMj)| 1.7.2 (2)の証明：リプシッツ定理 　もう１つの不等式はリプシッツ定理から示す。次の補題である。 補題1.5. （リプシッツ定理） U ⊂Rdは開とし、φ:U →RdはC1級とする。もし、 ∀x,y ∈ U ||φ(x)−φ(y)|| ≤ C||x−y|| を満たすC≥0があるならば、A⊂Uが可測のときφ(A)も可測で、 m(φ(A)) ≤ Cdm(A). これを利用して２つ目を示す。まず、B⊂Bj⊂Djから、 ∀x,y ∈ Dj t−1||Mjx−Mjy|| ≤ ||φ(x)−φ(y)|| ≤ t||Mjx−Mjy||. がBでも成り立つ。φはDj上の同相写像、Mjも然り。だから、 φ : Dj →φ(Dj), Mj :Dj →MjDj は同相、φ(Dj), MjDj も開集合。これを用いて、 { ||Mjφ−1(x′) −Mjφ−1(y′)|| ≤ t|x′ −y′|||, (x′,y′ ∈ φ(Dj)) ||φM−1 j (x′′) −φM−1 j (y′′)|| ≤ t||x′′ − y′′|| (x′′,y′′ ∈ MjDj) とできる。つまりこの２つは共にリプシッツ連続で、定理が使える。Aとし てはそれぞれφ(B)及びMjBを使うと、 m(Mjφ−1(φ(B))) ≤ tdm(φ(B)), m(φM−1 j (MjB)) ≤tdm(MjB). 後はルベーグ測度の性質で行列式を出せば、 |detMj|m(B) ≤ tdm(φ(B)), m(φ(B)) ≤ td|detMj|m(B). これで示された。証明終わり。 　ちなみに、次のことは自明として用いている。 定理1.6. （正則行列の変換） Mがd次正則行列のとき、A⊂Rdが可測ならMAも可測で、 m(MA)=|detM|m(A) 1.8 変数変換１（非負可測関数） 　それでは変数変換の本番に入る。まず非負可測関数から。 定理1.7. （変数変換１） U ⊂Rdは開集合で、φ:U →RdはC1級で、f :U →Rはルベーグ非負 可測関数とする。すなわちf ≥0.そしてφは、 ∀y ∈ Rd |φ−1({y})| < ∞ だとする。このとき、 ∑ Φ(f)(y) := x∈U, y=φ(x) とおくとこれはφ(U)上ルベーグ可測で、 ∫ ∫ f(x)J(φ)(x)dx = U φ(U) f(x) Φ(f)(y)dy. とくにφが単射ならφ(U)上でΦ(f)=f◦φ−1であり、 ∫ ∫ f(x)J(φ)(x)dx = U 証明.　 φ(U) f ◦φ−1(y)dy. f · J(φ)はもちろんU 上非負可測。さて、Φ(f)(y)はyが固定されている とき、単に然るべき有限個のxに対するfの値の和である： Φ(f)(y) = f(x1) +···+f(xm). よって次のことは明らか。 • Φ(af +bg) = aΦ(f)+bΦ(g). (a,b ≥ 0, f,g ≥ 0.) • fn ↑f =⇒ Φ(fn)↑Φ(f). さらにA⊂Uは可測とするとき、定義関数について、 ∑ Φ(χA)(y) = χA(x) = |A∩φ−1({y})| = Φ(A)(y). x∈U, y=φ(x) これが成り立つ。そこで、U上の非負可測関数fに対し、 I1(f) := U とおく。このとき明らかにi=1,2について、 ∫ f(x)J(φ)(x)dx, I2(f) := φ(U) Φ(f)(y)dy • Ii(af +bg) = aIi(f)+bIi(g). (a,b ≥ 0, f,g ≥ 0.) • fn ↑f =⇒ Ii(fn)↑Ii(f). がレヴィの定理などから従う。そこでステア近似定理の出番。ステアとは、 c1χA1 +··· +ckχAk (ci ∈ R, m(Ai) < +∞) という単関数で、さらにAi∩Aj =ϕ(i=j)となっているもののこと。非負 可測関数は非負ステアの増加列で書けるから、結局示すのは非負ステアに対 しての一致、もっというと定義関数に対しての一致となる。しかしそれは、 ∫ ∫ I1(χA) = J(φ)(x)dx, A I2(χA) = φ(U) Φ(A)(y)dy となる。Φ(χA)=Φ(A)だから。この一致は面積定理から従う。 1.9 変数変換２（一般の積分） 　これで完成する。 定理1.8. （変数変換２） U ⊂Rdは開集合、φ:U →RdはC1級の単射で、U上でJ(φ)(x)>0な るものとする。さらにA⊂Rdは可測集合で、 φ(U) ⊂ A, m(A−φ(U))=0 なるとし、可測関数f :A→Rが与えられているとする。更にf◦φもU上 可測だとする。このとき、 (f ◦φ)J(φ)がU 上積分確定 ⇐⇒ fがA上積分確定 であり、一方の積分が確定であれば、 ∫ U (f ◦φ)(x)J(φ)(x)dx = 　これが一般の変数変換である。 証明.　 　まず、f±を考えるのが基本になる。 f+(y) = |f(y)| +f(y) 2 であり、したがって , f−(y) = |f(y)| −f(y) 2 (f ◦φ)+(y) = (f+ ◦φ)(y), (f ◦φ)−(y) = (f− ◦φ)(y). 　さらにφは単射なので、 Φ(f± ◦φ) = (f± ◦φ)◦φ−1 = f±. よって、先程の定理から ∫ U (f± ◦φ)(x)J(φ)(x)dx = ∫ φ(U) f±(y)dy となることとJ(φ)(x)≥0などと合わせて、プラスとマイナスの一致が従う。 よって積分の確定性も一致するし、確定したときの積分の一致も成り立つ。 　最後に、m(A−φ(U))=0なので積分範囲をAにすれば完成する。 2 変数変換の応用 　実際に積分してみる。その前に準備。 2.1 積分定理の復習 定理2.1. （ルベーグの収束定理） A⊂Rdは可測とし、fn,s:A→Rは可測(n≥1)とする。s(x)がA上の 非負可積分関数で、 |fn(x)| ≤ s(x) (n ≥ 1, x ∈ A) であるなら、A上でfn→f (n→∞)であるときfはA上可積分で、 ∫ ∫ lim n→∞ fn(x)dx = A f(x)dx. A これに平均値の定理を応用して、微分積分の基本定理を得る。 定理2.2. （微分積分の基本定理） f : [a,b] → Rは連続、(a,b)上微分でき、f′は(a,b)上で有界とする。 |f′(x)| ≤ M. (a < x < b) さらに、 f′(a + 0) = lim h→+0 f(a +h)−f(a) h , f′(b − 0) = lim が存在して有限とすれば、f′は(a,b)上可積分で、 ∫ f′(x)dx = f(b) −f(a). (a,b) 証明.　 　まずf を、 f(x) =     h→+0 f(b) −f(b−h) h f(a) +f′(a +0)(x−a) (a−1 ≤ x ≤ a) f(x) (a ≤ x≤b)  f(b) +f′(b −0)(x−b) (b ≤ x ≤ b+1) と拡張してfが(a−1,b+1)で微分できるようにしておく。f′は(a,b)の上 で一致する。 f′ に収束する関数列を取る。 ( fn(x) := 2n f(x + 1 2n)−f(x) ) (n ≥1) は(a,b)上でn→∞したときf′に収束する。拡張によりf′は(a−1,b+1) で有界となっている。そこで、 |f′(x)| ≤ M′ (a−1 < x <b+1) とすれば平均値の定理で |fn(x)| ≤ M′. (a < x < b) これよりルベーグ収束定理で ∫ lim n→∞ (a,b) ∫ fn(x)dx = 15 f′(x)dx